ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МЕТОД УРАВНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Так как равенство at=as, где a>0,a≠1

справедливо тогда и только тогда, когда t=s, то верно следующее утверждение:

Показательное уравнение af(x)=ag(x) (где a>0,a≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x).

Пример:

1. Решить уравнение: 22x−4=64  

Представив 64 как 26, перепишем заданное уравнение в виде  22x−4=26.

Это уравнение равносильно уравнению

2x−4=6 , откуда находим: x=5

2. Решить уравнение: (13)2x−3,5=13√;

Представим 13√ как (13)12, перепишем заданное уравнение в виде (13)2x−3,5=(13)0,5.

Это уравнение равносильно уравнению 2x−3,5=0,5, откуда находим: x=2.

ЕЩЁ ОДИН МЕТОД РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В ВВЕДЕНИИ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем.

Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения, получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Рассмотрим способ подстановки на примерах.

Пример:

Решить уравнение: 9x−4⋅3x−45=0.

Заменой 3x=t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2−4t−45=0.

Решая это уравнение, находим его корни: t1=9,t2=−5, откуда 3x=9,3x=−5.

Уравнение 3x=9 имеет корень x=2, а уравнение 3x=−5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения. x=2.

Пример:

Решить уравнение: 4x+2x+1−24=0

Заметив, что 4x=(22)x=22x=(2x)2, а 2x+1=2⋅2x,

перепишем заданное уравнение в виде (2x)2+2⋅2x−24=0.

 

Введем новую переменную y=2x; тогда уравнение примет вид y2+2y−24=0.

 

Решив квадратное уравнение относительно y, находим: y1=4,y2=−6.

Но y=2x значит, нам остается решить два уравнения: 2x=4;2x=−6.

Из первого уравнения находим x=2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях xвыполняется неравенство 2x>0.

Ответ: 2.

ПРИМЕНИМ К РЕШЕНИЮ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

1. Решить уравнение 5x=6−x

Построим в одной системе координат графики функций y=5x и y=6−x

Они пересекаются в одной точке (1; 5). Проверка показывает, что на самом деле точка (1; 5) удовлетворяет и уравнению y=5x, и уравнению y=6−x.

Абсцисса этой точки служит единственным корнем заданного уравнения,

поскольку y=5x— возрастающая функция, а  y=6−x— убывающая функция.

Итак, уравнение 5x=6−x имеет единственный корень x=1.

Ещё один пример

Решить уравнение: 

(13)x=3;

Построив в одной системе координат графики функций y=(13)x и y=3,

замечаем , что они имеют одну общую точку (-1; 3). Значит, уравнение (13)x=3; имеет единственный корень x=−1.

Итак, из уравнения (13)x=(13)−1 мы получили x=−1.

И так, вы готовы выполнить задания самостоятельно жмите здесь

Источники:

Ш.А. Алимов и др. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Москва. Просвещение, 2007 г.

А.Н. Колмагоров и др. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. Москва. Просвещение, 1990 г.