ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в основании логарифма), называются логарифмическими.

Решение логарифмических уравнений по определению логарифма

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение

logax=b, где основание a>1,a≠1,

 а выражение, стоящее под знаком логарифма, x>0.

Для любого действительного   b это уравнение имеет единственное решение x=ab

Пример:

Решить уравнение

log2x=3

Решение. 

Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): x>0,

т.к. под знаком логарифма должно быть положительное выражение.

Для решения данного уравнения, достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число x как степень основания 2 логарифма,  причем показатель степени равен 3. 

log2x=3x=23x=8

Найденное значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.

Ответ: x=8

Пример:

Решить уравнение log3(x2+72)=4

Решение. ОДЗ: x2+72>0⇒x∈R

По определению логарифма получаем 

 x2+72=34x2+72=81x2+72−81=0x2−9=0(x−3)(x+3)=0⇒x1=3,x2=−3

Ответ:x1=3,x2=−3

Пример:

Решить уравнение: lg(x+1)+lg(x+4)=1.

Решение.

По свойству логарифма преобразуем левую часть                          ОДЗ

lg(x+1)(x+4)=1{x+1>0x+4>0lg(x+1)(x+4)=lg10

(x+1)(x+4)=10{x>−1x>−4x2+5x+4=10x∈(−1;+∞)x2+5x+4−10=0x2+5x−6=0

По теореме Виета{

x1+x2=−5x1⋅x2=−6⇒x1=−6,x2=1

x=−6 не является корнем этого уравнения, т.к. не принадлежит ОДЗ.

Ответ: x=1

СЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПОТЕНЦИРОВАНИЕ

В чём он заключается?

Решение логарифмических уравнений типа  logaf(x)=logag(x) 

сводится к решению уравнения f(x)=g(x).

Это следует из монотонности логарифмической функции.

Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения  f(x)=g(x)  и среди полученных, выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения logaf(x)=logag(x)

В случае, если уравнение f(x)=g(x) решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.

Пример:

Реши уравнение: log5(x+1)=log5(2x−3)

Решение.

Находим ОДЗ:

{x+1>02x−3>0{x>−12x>3{x>−1x>1,5⇒x∈(1,5;+∞)

Решаем уравнение

x+1=2x−3x−2x=−3−1−x=−4

x=4 принадлежит интервалу  x∈(1,5;+∞) ,

значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.
Ответ: x=4

Пример:

Реши уравнение log0,7(x+4)+log0,7(2x+3)=log0,7(1−2x)

Решение.

ОДЗ:

⎧⎩⎨⎪⎪x+4>02x+3>01−2x>0⎧⎩⎨⎪⎪x>−42x>−3−2x>−1⎧⎩⎨⎪⎪x>−4x>−1,5x<0,5⇒x∈(−1,5;0,5)

log0,7(x+4)(2x+3)=log0,7(1−2x)(x+4)(2x+3)=1−2x2x2+8x+3x+12=1−2x2x2+13x+11=0x1=−1,x2=−5,5x1=−1∈ОДЗ  x2=−5,5∉ОДЗ  

 значит,  −5,5 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: x=−1.

 МЕТОД ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Пример:

Решить уравнение : 2log24x−5log4x=−2

Решение: 

2log24x−5log4x+2=0

Обозначив log4x=t, получим уравнение 2t2−5t+2=0.

Корни этого уравнения t1=12,t2=2 .

Из уравнения log4x=12 находим, что x=412=4√=2, 

 а из уравнения log4x=2, следует, что x=42, т.е. x=16.

Оба корня принадлежат ОДЗ: x>0.

Ответ: 2;16.

И ЕЩЁ ОДИН МЕТОД НАЗЫВАЕТСЯ ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ

логарифмирование – это переход от уравнения 

f(x)=g(x) к уравнению logaf(x)=logag(x)

Пример:

Реши уравнение  2x=3

Решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2

log22x=log23x⋅log22=log23,т.к. logabr=r⋅logab

x⋅1=log23x=log2

Ответ: x=log23

ЕСЛИ ВСЁ ПОНЯТНО, ПРЕДЛАГАЮ ЭТО ПРОВЕРИТЬ!