ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА ПРОИЗВОЛЬНОГО УГЛА

Чтобы ввести определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного угла, воспользуемся тригонометрической окружностью.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOВ. По определению тригонометрических функций острого угла, имеем:  

sinα=AP/OВ,   cosα=OA/OВ,   tgα=AВ/OA,   ctgα=OA/AВ. 
Но OA=x, AВ=y,  OВ=R.   Отсюда  sinα=y/R, cosα=x/R, tgα=y/x, ctgα=x/y.

Изменение радиуса окружности не влияет на значения синуса и косинуса. Поэтому удобно выбрать R=1. Такую окружность называют единичной. 

Таким образом, sinα=y, cosα=x. 





Проверим, понятны ли тебе определения тригонометрических функций

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения тригонометрических функций. 
Вот тебе в помощь единичная окружность.

sin 90∘=?cos 90∘=?tg 90∘=?ctg 90∘=?sin 180∘=sin π=?cos 180∘=cos π=?tg 180∘=tg π=?ctg 180∘=ctg π=?sin 270∘=?cos 270∘=?tg 270∘=?ctg 270∘=?sin 360∘=?cos 360∘=?tg 360∘=?ctg 360∘=?sin 450∘=?cos 450∘=?tg 450∘=?ctg 450∘=?$\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array}$​sin 90​∘​​=?​cos 90​∘​​=?​tg 90​∘​​=?​ctg 90​∘​​=?​sin 180​∘​​=sin π=?​cos 180​∘​​=cos π=?​tg 180​∘​​=tg π=?​ctg 180​∘​​=ctg π=?​sin 270​∘​​=?​cos 270​∘​​=?​tg 270​∘​​=?​ctg 270​∘​​=?​sin 360​∘​​=?​cos 360​∘​​=?​tg 360​∘​​=?​ctg 360​∘​​=?​sin 450​∘​​=?​cos 450​∘​​=?​tg 450​∘​​=?​ctg 450​∘​​=?​​

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. 

Предлагаю посмотреть видео

Итак, мы знаем, что:

sinα=y;cosα=x;tgα=yx;ctgα=xy.$\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\frac{y}{x};\\ctg\alpha =\frac{x}{y}.\end{array}$​sinα=y;​cosα=x;​tgα=​x​​y​​;​ctgα=​y​​x​​.​​


Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определенным мерам угла. 
Ну что же, начнем по порядку: углу в 

90∘=π2$90{}^\circ =\frac{\pi }{2}$90​∘​​=​2​​π​​ соответствует точка с координатами (0;1)$\left( 0;1 \right)$(0;1), следовательно:

sin90∘=y=1$\sin 90{}^\circ =y=1$sin90​∘​​=y=1;

cos90∘=x=0$\cos 90{}^\circ =x=0$cos90​∘​​=x=0;

tg 90∘=yx=10⇒tg 90∘$\text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{y}{x}=\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ$tg 90​∘​​=​x​​y​​=​0​​1​​⇒tg 90​∘​​ - не существует;

ctg 90∘=xy=01=0$\text{ctg}\ 90{}^\circ =\frac{x}{y}=\frac{0}{1}=0$ctg 90​∘​​=​y​​x​​=​1​​0​​=0.

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в 180∘, 270∘, 360∘, 450∘(=360∘+90∘) $180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ )\$180​∘​​, 270​∘​​, 360​∘​​, 450​∘​​(=360​∘​​+90​∘​​)  соответствуют точки с координатами (−1;0), (0;−1), (1;0), (0;1)$\left( -1;0 \right),\text{ }\left( 0;-1 \right),\text{ }\left( 1;0 \right),\text{ }\left( 0;1 \right)$(−1;0), (0;−1), (1;0), (0;1), соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках.

Вы готовы выполнить тест на отлично?

Если да, то перейдите по ссылке.

sin 180∘=sin π=0$\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0$

cos 180∘=cos π=−1$\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =$

tg 180∘=tg π=0−1=0$\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\frac{0}{-1$

ctg 180∘=ctg π=−10⇒ctg π$\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \p$

sin 270∘=−1$\sin \ 270{}^\circ =-$

cos 270∘=0$\cos \ 270{}^\circ$

tg 270∘=−10⇒tg 270∘$\text{tg}\ 270{}^\circ =\frac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\c$

ctg 270∘=0−1=0$\text{ctg}\ 270{}^\circ =\frac{0}{$

sin 360∘=0$\sin \ 360{}^\circ$

cos 360∘=1$\cos \ 360{}^\ci$

tg 360∘=01=0$\text{tg}\ 360{}^\circ =\frac{$

ctg 360∘=10⇒ctg 2π$\text{ctg}\ 360{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\p$т

sin 450∘=sin (360∘+90∘)=sin 90∘=1$\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\c$

cos 450∘=cos (360∘+90∘)=cos 90∘=0$\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\c$

tg 450∘=tg (360∘+90∘)=tg 90∘=10⇒tg 450∘$\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\frac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450$

ctg 450∘=ctg(360∘+90∘)=ctg 90∘=01=0$\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\te$