СВОЙСТВА КОРНЯ n-ОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА a. ИЗБАВЛЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ

Свойства корня n-ой степени:
1. 
2. 
3. 
4. 
5.
 Если кто-то хочет убедиться в правильности этих свойств, предлагаю посмотреть видео урок, где все свойства доказываются, а так же приведены примеры по их использованию 
Частные случаи:
1. Если показатель корня целое нечетное число (), то подкоренное выражение может быть отрицательным.
2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение  не может быть отрицательным.
Внимание! Для корня четной степени справедливы равенства:

Всё понятно?

Тогда на следующем уроке ты ответишь на вопрос: сколько ошибок ты нашёл на картинке


А теперь научимся избавляться от иррациональности в знаменателе.

Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Рассмотрим общие случаи и конкретные примеры.
  \[I)\frac{a}{{b\sqrt c }}\]
Если число или выражение, стоящее под знаком квадратного корня в знаменателе, является одним из множителей, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из этого числа или выражения:
  \[\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{{a \cdot \sqrt c }}{{b\sqrt c \cdot \sqrt c }} = \frac{{a\sqrt c }}{{bc}}\]
Примеры.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
  \[1)\frac{4}{{\sqrt {a + b} }};2)\frac{6}{{\sqrt 3 }};3)\frac{8}{{3\sqrt 2 }}.\]
Решение:
  \[1)\frac{4}{{\sqrt {a + b} }} = \frac{{4 \cdot \sqrt {a + b} }}{{\sqrt {a + b} \cdot \sqrt {a + b} }} = \frac{{4\sqrt {a + b} }}{{a + b}};\]
  \[2)\frac{6}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6 \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 ;\]
  \[3)\frac{8}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{8 \cdot \sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{8\sqrt 2 }}{{3 \cdot 2}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\]
В общем случае
  \[II)\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}}}}\]
  \[\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}}}} = \frac{{a \cdot \sqrt[n]{{{c^{n - k}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^k}}} \cdot \sqrt[n]{{{c^{n - k}}}}}}\]
Примеры:
  \[1)\frac{{20}}{{\sqrt[3]{5}}};2)\frac{6}{{\sqrt[5]{{27}}}};3)\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}}}}.\]
Решение:
  \[1)\frac{{20}}{{\sqrt[3]{5}}} = \frac{{20\cdot\sqrt[3]{{{5^2}}}}}{{\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{{{5^2}}}}} = \frac{{20\sqrt[3]{{25}}}}{5} = 4\sqrt[3]{{25}};\]
  \[2)\frac{6}{{\sqrt[5]{{27}}}} = \frac{6}{{\sqrt[5]{{{3^3}}}}} = \frac{{6 \cdot \sqrt[5]{{{3^2}}}}}{{\sqrt[5]{{{3^3}}} \cdot \sqrt[5]{{{3^2}}}}} = \frac{{6\sqrt[5]{9}}}{3} = 2\sqrt[5]{9};\]
  \[3)\frac{{{a^5}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}}}} = \frac{{{a^5} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}}{{\sqrt[7]{{{a^4}}} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}} = \frac{{{a^5} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}}}{a} = {a^4} \cdot \sqrt[7]{{{a^3}}}.\]
Если знаменатель дроби — сумма либо разность двух выражений, содержащих квадратный или кубический корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный радикал:
  \[III)\frac{a}{{\sqrt b + \sqrt c }} = \frac{{a(\sqrt b - \sqrt c )}}{{(\sqrt b + \sqrt c )(\sqrt b - \sqrt c )}} = \frac{{a(\sqrt b - \sqrt c )}}{{b - c}};\]
  \[\frac{a}{{\sqrt b - \sqrt c }} = \frac{{a(\sqrt b + \sqrt c )}}{{(\sqrt b - \sqrt c )(\sqrt b + \sqrt c )}} = \frac{{a(\sqrt b + \sqrt c )}}{{b - c}};\]
  \[\frac{a}{{\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c}}} = \frac{{a(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}}{{(\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}} = \]
  \[ = \frac{{a(\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})}}{{b \pm c}};\]
  \[\frac{a}{{\sqrt[3]{{{b^2}}} \pm \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}}} = \frac{{a(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}}{{(\sqrt[3]{{{b^2}}} \pm \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}})(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}} = \]
  \[ = \frac{{a(\sqrt[3]{b} \mp \sqrt[3]{c})}}{{b \mp c}}.\]
Примеры.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
  \[1)\frac{{33}}{{\sqrt {17} - \sqrt 6 }};2)\frac{{21}}{{5 + \sqrt {18} }};3)\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }};\]
  \[4)\frac{5}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4}}};5)\frac{7}{{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{25}}}}.\]
Решение:
  \[1)\frac{{33}}{{\sqrt {17} - \sqrt 6 }} = \frac{{33(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}}{{(\sqrt {17} - \sqrt 6 )(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}} = \]
  \[ = \frac{{33(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}}{{17 - 6}} = \frac{{33(\sqrt {17} + \sqrt 6 )}}{{11}} = 3(\sqrt {17} + \sqrt 6 );\]
  \[2)\frac{{21}}{{5 + \sqrt {18} }} = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{{(5 + \sqrt {18} )(5 - \sqrt {18} )}} = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{{25 - 18}} = \]
  \[ = \frac{{21(5 - \sqrt {18} )}}{7} = 3(5 - \sqrt {18} );\]
  \[3)\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{(5 - 2\sqrt 3 )(5 + 2\sqrt 3 )}} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{{5^2} - {{(2\sqrt 3 )}^2}}} = \]
  \[ = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{25 - 12}} = \frac{{26(5 + 2\sqrt 3 )}}{{13}} = 2(5 + 2\sqrt 3 );\]
  \[4)\frac{5}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4}}} = \frac{{5(\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9 \cdot 4}} + \sqrt[3]{{{4^2}}})}}{{(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9 \cdot 4}} + \sqrt[3]{{{4^2}}})}} = \]
  \[ = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{{{{(\sqrt[3]{9})}^3} - {{(\sqrt[3]{4})}^3}}} = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{{9 - 4}} = \]
  \[ = \frac{{5(\sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}})}}{5} = \sqrt[3]{{81}} + \sqrt[3]{{36}} + \sqrt[3]{{16}};\]
  \[5)\frac{7}{{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{25}}}} = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{{(\sqrt[3]{{{2^2}}} - \sqrt[3]{{2 \cdot 5}} + \sqrt[3]{{{5^2}}})(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}} = \]
  \[ = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{{{{(\sqrt[3]{2})}^3} + {{(\sqrt[3]{5})}^3}}} = \frac{{7(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})}}{7} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}.\]

Источники:  http://www.uznateshe.ru/kak-izbavitsya-ot-irratsionalnosti-v-znamenatele/

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Сообщения (Atom)