РАЗМИНКА ДЛЯ СМЕКАЛИСТЫХ
1. Можно ли разрезать клетчатый прямоугольник размерами 20×2011 на две равные части так, чтобы из получившихся частей нельзя было вырезать крестика из пяти клеток?
Ответ: да, можно. Решение. Так как одна сторона четная, то надо действовать по принци-пу см. рис. При этом длина горизонтальной стороны не имеет роли, а вертикальная сторона должна быть четной.
2. Когда у Васи спросили, сколько ему лет, он сказал: «Я втрое моло-же папы, но зато втрое старше брата Алеши». А его родная сестра Аня сказала, что она вдвое моложе папы, зато вдвое старше своей сестры Кати. Известно, что папе не больше 60 лет. А сколько ему лет?
Ответ: 36 лет. Решение. Из высказывания Васи следует, что воз-раст папы делится на 9, а из высказываний Ани следует, что он де-лится на 4. Следовательно, он делится на 36. Единственное число, которое меньше 60 и делится на 36, это само число 36.
3. В школе прошел забег с участием 10 спортсменов. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, ес-тественно, назвал одно число от 1 до 10. При этом один соврал, а ос-тальные сказали правду. Сумма их ответов оказалась равна 47. Какое место занял совравший спортсмен и что именно он сказал? Приведи-те все примеры и докажите, что других нет.
Ответ: Спортсмен, занявший 10 место, сказал, что занял второе, или спортсмен, занявший 9 место, сказал, что занял первое. Решение. Если бы никто не врал, то в сумме получилось бы число 1+2+3+4+5+…+10 = 55. А получилось число, которое на 8 меньше, то есть один назвал номер места, на 8 выше. Это могли сделать только спорт-смены, занявшие 9 или 10 места, назвав первое или второе место соответственно.
4. Первоклассница Катя умеет только умножать числа на 2, а её младшая сестрёнка Оля может лишь поменять цифры в числе местами (ставить 0 на первое место нельзя). Могут ли они со-обща получить из числа 3 число 2011?
Ответ: нет. Решение. Изначальное число делится на 3, после умножения и перестановки цифр дели-мость на три не меняется, поэтому получить число 2011, не кратное 3, невозможно.
5. Трехзначное число А записывается только двойками и тройками, а трехзначное число В – только чет-верками и пятерками. Докажите, что произведение АВ не может записываться одними шестерками и се-мерками.
Решение. Самые маленькие возможные числа А и В – это 222 и 444. Их произведение равно 98568. Са-мые большие возможные числа А и В – это 333 и 555. Их произведение равно 184815. Все остальные возможные произведения АВ лежат между этими числами. Но в этом промежутке нет чисел, начинаю-щихся на 7.
6. В мешке у Деда Мороза лежат конфеты трёх видов: шоколадные, ириски и леденцы. Дед Мороз знает, что если вынуть любые 100 конфет из мешка, то среди них обязательно найдутся конфеты всех трёх ви-дов. Какое наибольшее количество конфет может быть в мешке у Деда Мороза?
Ответ: 148 конфет. Решение. Гарантировать, что точно найдутся конфеты всех трех сортов, можно, если число взятых конфет больше, чем конфет в сумме в двух наибольших сортах и еще одна конфета. Итак, в сумме в двух наибольших по численности сортах 99 конфет, поэтому во втором по численности сорте конфет не более 49 конфет. Значит, и в оставшемся сорте не более 49 конфет, а значит, конфет не более 148.
7. В первых трех классах учится 80 детей, причем третьеклассников вдвое больше, чем второклассников. На Новый Год ученики первых трех классов дарили друг другу подарки. Известно, что каждый второклассник подарил на один подарок больше, чем получил, а каждый третьеклассник - на два больше, чем получил. Зато каждый первоклассник получил на пять подарков больше, чем подарил. Сколько учеников учится в третьем классе?
Ответ: 40 третьеклассников. Решение: Если количество второклассников взять за x, то третьеклассни-ков всего 2x. «Убыль» по подаркам среди 2-3 классов составляет x+22x = 5x, при этом она обязательно равна «прибыли» первоклассников. Но тогда всего первоклассников 5x:5 = x, поэтому x+x+2x = 4x = 80, x = 20, отсюда ответ.
8. В нескольких вазочках лежат конфеты. Если во всех вазочках лежит разное количест-во конфет, то Андрей добавляет несколько конфет (не очень много, не больше, чем ко-личество остальных вазочек) в ту вазочку, в которой меньше всего конфет. Докажите, что рано или поздно количество конфет в каких-то двух вазочках сравняется.
Решение. Обозначим число вазочек за n+1. Андрей кладет не более n конфет. Если разница между наи-меньшей и следующей по величине вазочкой больше или равна n, тогда Андрей кладет туда конфеты, пока она не стане меньше n. Если вазочки не сравнялись, то рано или поздно одна перерастет другую, при этом, так как было добавлено не более n конфет, то разность между ними не превысит n, и так будет продолжаться до конца. В то же время численность конфет постоянно увеличивается до тех пор, пока эта разность со следующей по величине вазочкой не станет меньше n. Если вазочки не будут сравниваться, то так будет продолжаться до тех пор, разность между всеми вазочками не станет меньше n. Так как ва-зочек всего n+1, то если количество в каждой вазочке свое, то разность между крайними должна быть равна n, и в то же время она должна быть меньше n.
9. Можно ли переложить показанную на рисунке пирамидку из кубиков так, чтобы ее форма сохрани-лась, а все соседи у каждого из кубиков стали новыми? Ответ обоснуйте.
Ответ: Нельзя. Решение. Кубик 5 соседствует со всеми остальными кубиками, кроме 1. После перекладывания у него будет не меньше двух соседей. Значит, среди них останется хотя бы один старый сосед.
10. Дно квадратного бассейна выложено квадратными плитками двух цветов, как показа-но на рисунке. Прораб заказал светлых плиток на 1000 больше, чем темных. Найдите размеры бассейна.
Ответ: 1000×1000. Решение. Каждая новая белая полоска на 2 квадратика больше, чем черная. Если белых полосок n, то белых плиток больше на 2n. Если после этого идет еще черная полоска, она имеет номер 2n+1, и в ней 2(2n+1)–1=4n+1 плитка. В этой ситуации черных плиток становится на 2n+1 больше. Следовательно, все заканчивается белой полосой, причем белых полос 500, и черных полос 500.
11. На плоскости стоит шахматный конь. Известно, что он совершал прыжки двух видов: либо на два мет-ра на север и метр на восток, либо на два метра на восток и метр на север. В итоге он удалился от на-чальной точки на 40 м на север и на 50 м на восток. Сколько прыжков сделал конь?
Ответ: 30 прыжков. Решение. Сумма перемещений коня на север и восток за один прыжок, независимо от его вида, равна 3 метрам. Общее перемещение коня по условию составило 90 м. Поэтому он совершил 90:3 = 30 прыжков.
12. Дорогу разделили на пять частей (не обязательно равной длины). Коля знает длину дороги. Ему раз-решено спросить, чему равно расстояние между серединами любых двух частей, а он хочет точно узнать длину хоть какой-нибудь части. Докажите, что он может сделать это за два вопроса.
Решение. Первым вопросом Коля должен спросить расстояние между серединами первой и последней части. Вычитая это число из общей длины дороги, он получит сумму половин первой и последней части. Умножив на 2, он получит сумму первой и последней части. Вычитая из общей длины, он получает сумму второй, третьей и четвертой частей, то есть средней части дороги. Второй вопрос он задает про расстоя-ние от середины второй части до середины четвертой части. Действуя аналогично, он может узнать дли-ну третьей части дороги.
Ответ: да, можно. Решение. Так как одна сторона четная, то надо действовать по принци-пу см. рис. При этом длина горизонтальной стороны не имеет роли, а вертикальная сторона должна быть четной.
2. Когда у Васи спросили, сколько ему лет, он сказал: «Я втрое моло-же папы, но зато втрое старше брата Алеши». А его родная сестра Аня сказала, что она вдвое моложе папы, зато вдвое старше своей сестры Кати. Известно, что папе не больше 60 лет. А сколько ему лет?
Ответ: 36 лет. Решение. Из высказывания Васи следует, что воз-раст папы делится на 9, а из высказываний Ани следует, что он де-лится на 4. Следовательно, он делится на 36. Единственное число, которое меньше 60 и делится на 36, это само число 36.
3. В школе прошел забег с участием 10 спортсменов. На следующий день каждого из них спросили, какое место он занял, и каждый, ес-тественно, назвал одно число от 1 до 10. При этом один соврал, а ос-тальные сказали правду. Сумма их ответов оказалась равна 47. Какое место занял совравший спортсмен и что именно он сказал? Приведи-те все примеры и докажите, что других нет.
Ответ: Спортсмен, занявший 10 место, сказал, что занял второе, или спортсмен, занявший 9 место, сказал, что занял первое. Решение. Если бы никто не врал, то в сумме получилось бы число 1+2+3+4+5+…+10 = 55. А получилось число, которое на 8 меньше, то есть один назвал номер места, на 8 выше. Это могли сделать только спорт-смены, занявшие 9 или 10 места, назвав первое или второе место соответственно.
4. Первоклассница Катя умеет только умножать числа на 2, а её младшая сестрёнка Оля может лишь поменять цифры в числе местами (ставить 0 на первое место нельзя). Могут ли они со-обща получить из числа 3 число 2011?
Ответ: нет. Решение. Изначальное число делится на 3, после умножения и перестановки цифр дели-мость на три не меняется, поэтому получить число 2011, не кратное 3, невозможно.
5. Трехзначное число А записывается только двойками и тройками, а трехзначное число В – только чет-верками и пятерками. Докажите, что произведение АВ не может записываться одними шестерками и се-мерками.
Решение. Самые маленькие возможные числа А и В – это 222 и 444. Их произведение равно 98568. Са-мые большие возможные числа А и В – это 333 и 555. Их произведение равно 184815. Все остальные возможные произведения АВ лежат между этими числами. Но в этом промежутке нет чисел, начинаю-щихся на 7.
6. В мешке у Деда Мороза лежат конфеты трёх видов: шоколадные, ириски и леденцы. Дед Мороз знает, что если вынуть любые 100 конфет из мешка, то среди них обязательно найдутся конфеты всех трёх ви-дов. Какое наибольшее количество конфет может быть в мешке у Деда Мороза?
Ответ: 148 конфет. Решение. Гарантировать, что точно найдутся конфеты всех трех сортов, можно, если число взятых конфет больше, чем конфет в сумме в двух наибольших сортах и еще одна конфета. Итак, в сумме в двух наибольших по численности сортах 99 конфет, поэтому во втором по численности сорте конфет не более 49 конфет. Значит, и в оставшемся сорте не более 49 конфет, а значит, конфет не более 148.
7. В первых трех классах учится 80 детей, причем третьеклассников вдвое больше, чем второклассников. На Новый Год ученики первых трех классов дарили друг другу подарки. Известно, что каждый второклассник подарил на один подарок больше, чем получил, а каждый третьеклассник - на два больше, чем получил. Зато каждый первоклассник получил на пять подарков больше, чем подарил. Сколько учеников учится в третьем классе?
Ответ: 40 третьеклассников. Решение: Если количество второклассников взять за x, то третьеклассни-ков всего 2x. «Убыль» по подаркам среди 2-3 классов составляет x+22x = 5x, при этом она обязательно равна «прибыли» первоклассников. Но тогда всего первоклассников 5x:5 = x, поэтому x+x+2x = 4x = 80, x = 20, отсюда ответ.
8. В нескольких вазочках лежат конфеты. Если во всех вазочках лежит разное количест-во конфет, то Андрей добавляет несколько конфет (не очень много, не больше, чем ко-личество остальных вазочек) в ту вазочку, в которой меньше всего конфет. Докажите, что рано или поздно количество конфет в каких-то двух вазочках сравняется.
Решение. Обозначим число вазочек за n+1. Андрей кладет не более n конфет. Если разница между наи-меньшей и следующей по величине вазочкой больше или равна n, тогда Андрей кладет туда конфеты, пока она не стане меньше n. Если вазочки не сравнялись, то рано или поздно одна перерастет другую, при этом, так как было добавлено не более n конфет, то разность между ними не превысит n, и так будет продолжаться до конца. В то же время численность конфет постоянно увеличивается до тех пор, пока эта разность со следующей по величине вазочкой не станет меньше n. Если вазочки не будут сравниваться, то так будет продолжаться до тех пор, разность между всеми вазочками не станет меньше n. Так как ва-зочек всего n+1, то если количество в каждой вазочке свое, то разность между крайними должна быть равна n, и в то же время она должна быть меньше n.
9. Можно ли переложить показанную на рисунке пирамидку из кубиков так, чтобы ее форма сохрани-лась, а все соседи у каждого из кубиков стали новыми? Ответ обоснуйте.
Ответ: Нельзя. Решение. Кубик 5 соседствует со всеми остальными кубиками, кроме 1. После перекладывания у него будет не меньше двух соседей. Значит, среди них останется хотя бы один старый сосед.
10. Дно квадратного бассейна выложено квадратными плитками двух цветов, как показа-но на рисунке. Прораб заказал светлых плиток на 1000 больше, чем темных. Найдите размеры бассейна.
Ответ: 1000×1000. Решение. Каждая новая белая полоска на 2 квадратика больше, чем черная. Если белых полосок n, то белых плиток больше на 2n. Если после этого идет еще черная полоска, она имеет номер 2n+1, и в ней 2(2n+1)–1=4n+1 плитка. В этой ситуации черных плиток становится на 2n+1 больше. Следовательно, все заканчивается белой полосой, причем белых полос 500, и черных полос 500.
11. На плоскости стоит шахматный конь. Известно, что он совершал прыжки двух видов: либо на два мет-ра на север и метр на восток, либо на два метра на восток и метр на север. В итоге он удалился от на-чальной точки на 40 м на север и на 50 м на восток. Сколько прыжков сделал конь?
Ответ: 30 прыжков. Решение. Сумма перемещений коня на север и восток за один прыжок, независимо от его вида, равна 3 метрам. Общее перемещение коня по условию составило 90 м. Поэтому он совершил 90:3 = 30 прыжков.
12. Дорогу разделили на пять частей (не обязательно равной длины). Коля знает длину дороги. Ему раз-решено спросить, чему равно расстояние между серединами любых двух частей, а он хочет точно узнать длину хоть какой-нибудь части. Докажите, что он может сделать это за два вопроса.
Решение. Первым вопросом Коля должен спросить расстояние между серединами первой и последней части. Вычитая это число из общей длины дороги, он получит сумму половин первой и последней части. Умножив на 2, он получит сумму первой и последней части. Вычитая из общей длины, он получает сумму второй, третьей и четвертой частей, то есть средней части дороги. Второй вопрос он задает про расстоя-ние от середины второй части до середины четвертой части. Действуя аналогично, он может узнать дли-ну третьей части дороги.
Комментариев нет:
Отправить комментарий